《自然哲学之数学原理》是划时代的巨著,也是人类掌握的首个完整的、科学的宇宙论和科学理论体系。牛顿在本书中构建了一个人类有史以来最为宏伟的物理理论体系。这一理论体系很好地解释了当时已知的一切运动形式和现象。
《自然哲学之数学原理》的影响所及,遍布经典物理学的所有领域,并在其后300年里一再取得丰硕成果,它达到的理论高度前所未见的,其后也不多见。内容涉及天文、物理、生物、心理、政治、经济、法律与军事等领域,是过去、现在和将来人类认识世界与发现世界的重要理论基石。
导读
《自然哲学之数学原理》是牛顿一生中最重要的科学著作。
《原理》(第一版)成书于1687年,是牛顿经过20年的思考、实验研究、大量的天文观测和无数次数学演算的结晶。这20年,以及这之前的几十年里,欧洲的许多先进思想家和科学家在研究自然和数学方面取得了许多成就。其中直接或间接影响牛顿的思想体系以及《原理》的主要有:
哥白尼(nicholas copernicus,1473—1543)提出了日心说。在哥白尼以前,欧洲占统治地位的宇宙学说是亚里士多德—托勒密(aristotle—ptolemy)地心说体系。地心说本来是许多种宇宙学说中的一种,与纪元前后人们的天文观测水平相适应,它认为地球处于宇宙的中心,行星和太阳、月亮围绕着地球旋转,宇宙的最外层是不动的恒星,上帝住在遥远的恒星天注视着人类活动的地球,主宰着整个宇宙。由于这一学说符合上帝创造世界和人的基督教教义,后来在政教合一的欧洲成为占统治地位的意识形态,长期禁锢欧洲的思想界达千年之久。它的影响所及,既包括人们对于世界的基本看法,也影响人们对于天文历法编制、普通物体运动,甚至人类的生老病死的具体看法、解释和态度,可谓无所不包。但是,到中世纪中后期,随着人们天文观测精度的提高和观测资料的大量积累,地心说越来越不能自圆其说,不能满足实际需要。例如编制历法,到中世纪后期,天文现象与历法之间的误差越来越大,不仅天象(如日月食)无法预报和解释,连季节变换和每年的元旦都定不准,误差竟达几个月。
波兰的天主教神父和天文学家哥白尼对地心说体系发起了挑战,他用神学的语言和毕生天文观测的数据写成了《天体运行论》一书。他指出,更合理的宇宙结构应当是太阳为宇宙中心,地球和其他行星绕太阳旋转,旋转的轨道是完美的圆形。但哥白尼预计到自己的学说会被当做宗教异端对待,他直到临死前才发表了这部著作。
哥白尼的著作和学说赢得了有独立思考能力的思想家和科学家的赏识。意大利哲学家布鲁诺(giordano bruno,1548—1600)就到处宣传日心说,遭到教会的迫害,他在备受酷刑摧残之后,被烧死在火刑柱上。
意大利科学家伽利略也相信日心说。他进一步认为,自然的语言是数学,观察和研究自然要通过科学的实验,而要表达自然的运动规律,应当使用数学和实验数据。伽利略发明了折射望远镜,并且用望远镜发现了木星的卫星,伽利略认为木星的卫星围绕木星旋转充分说明了哥白尼原理的正确性。伽利略还发现了惯性原理,他用数学关系精确表达了运动物体的距离与时间的关系(如自由落体),他研究过单摆的运动,他还研究了力的合成及抛体运动。伽利略写下了两本著名的书:《关于托勒密和哥白尼两大世界宇宙体系的对话》和《关于两种科学的对话》,集中表达了他的科学(主要是物理学和天文学)成就,以及他对于宇宙和新的实验科学的看法。他被宗教法庭判为异端。他屈服了,写下了“悔过书”,但他被押离法庭时还是喃喃自语:“但是地球毕竟是在动的!”伽利略死于1642年,10天之后,牛顿出生了。
从伽利略以后,新的实验科学获得了地位,数学语言取代哲学思辨语言用于表达自然的规律,成为时尚。但是宇宙体系问题还远远没有解决。哥白尼日心说简洁优美,但在天文计算中却十分繁杂,比起托勒密地心体系甚至有过之无不及。于是德国天文学家第谷(tycho brahe,1546—1601)提出了折中方案,认为太阳和月亮围绕地球旋转,行星围绕太阳旋转,但是这并没有使问题变得简单些。第谷的学生开普勒认识到需要作更加精密的天文观测,然后才有可能回答宇宙体系的问题。他一生孜孜不倦地观测天象,用大量数据总结出天体(行星)运动三定律,其核心是发现行星的运行轨道是椭圆,而不是哥白尼所说的正圆,太阳或地球位于椭圆的两个焦点之一。开普勒的行星运动定律是牛顿之前人类所取得的最高天文学成就。
与伽利略的实验科学传统略有不同的是法国哲学家和数学家笛卡儿(rené du perron descartes,1596—1650)。以今天的眼光看来,笛卡尔有些奇怪,他在数学上很有建树,对于代数学和几何学都有很大贡献,他发明了我们今天十分熟悉的坐标系,以及把几何问题转化为代数问题的解析几何。马克思(karl marx,1818—1883)评价笛卡尔,说从他开始,运动被引入了几何学。在哲学世界观上,笛卡尔坚持用自然的原因来解释自然,但是他在认识论上却又是个不可知论者,他的名言是“我思故我在”。
笛卡尔的哲学学说有极大影响,从他年轻时直到死后统治整个欧洲长达一个世纪。这影响波及科学领域,特别是天文学和物理学。在物理学上,笛卡尔及其追随者强调有某种特殊的物质“以太”(牛顿所说的“隐秘的质”),它们充满空间,因为“自然厌恶真空”,以太传递物体之间的相互作用,使物体的运动得以持续。“以太”是一种想象中的物质存在,一种纯思辨的产物,它排除了物质世界里和物体运动关系中神的作用,但为探究自然规律设置了新的障碍。
困难在于它既无法测量,又难以想象。笛卡尔学说的最大成就和最大失败都集中体现在它的宇宙论中。它承认日心说体系。因为它必须否认真空的存在,他设想宇宙中充满以太,太阳的转动在以太中形成宇宙涡旋,涡旋运动带动各个行星运动,从而有我们所见到的天象奇观。这一解释从哲学思辨上来说,其成功是前所未有的,它首次提出了一个不诉诸神力的宇宙动力学模型,很有想象力,满足了人们解释天象的思辨需要。
但是,笛卡尔学派的涡旋说在具体的天文现象的解释上却遭遇到重重困难,例如,地球和各行星的自转,这要求在整个宇宙的大涡旋中有局部的方向和速度都不相同的小涡旋,而且因为各个行星围绕太阳的公转速度不同,大涡旋的到太阳距离不同的部分的旋转速度也不相同,这很难与人们的日常经验相符;更糟的是,某些行星,如火星,有时会出现天文学中常见的“逆行”现象,似乎宇宙大涡旋中的某些层次有时会随心所欲地发生“逆转”,这对于以自然解释自然的信条构成了严重障碍。还有,涡旋说无法说明行星发光现象,只能暗示天体实际上是某种与地面物体很不相同的“精英”物质,这就又请回了亚里士多德的宇宙论。最后,涡旋说对于具体的天文现象的解释与实际观测数据相矛盾,在《原理》第二编的末尾,牛顿指出涡旋的速度与它到涡旋中心的距离成正比,然而天文观测数据表明行星的速度与它到太阳距离的3/2方成正比,这对涡旋说来说是致命的。
笛卡尔宇宙体系是牛顿出世时面对的最大的宇宙体系,英国和整个欧洲大陆的大学都讲授它,以它为标准的宇宙学说。牛顿在大鼠疫时期就已经看出笛卡尔体系的问题,摧毁这一体系,成为牛顿研究生涯的首要直接目标。而要建立起一个全新的体系,则要经过长达20年的思考和研究,直到完成《原理》的写作。
牛顿在思想上还受到英国的思想家培根(frances bacon,1561—1626)、洛克(john locke,1632—1704)和摩尔(henry more,1614—1687)等人的影响,他们都强调经验论的作用。在科学思想和神学思想上,牛顿又受到同时代的英国化学家波义耳(robert boyle,1627—1691)的影响,认为每一个哲学家的最崇高的职责是认识并证明上帝的存在和完美,自然界是上帝创造的,它只是上帝的神性的外在形式,它可以为人类所认识和想象,人类只能通过自然哲学去研究自然才能最终认识上帝。在此意义上,牛顿毕生所从事的各种研究,包括数学、物理学、天文学、炼金术、圣经考古学和圣经年代学以及神学等,都是服务于他心目中的上帝的。
此外,当牛顿进入学术研究时,与他同时代的一些科学家也做出了一些重要的工作,如荷兰物理学家和天文学家惠更斯发明了发条钟和摆钟,这为准确的科学计时准备了条件;荷兰工程师贝克曼(isaac beeckman,1588—1677)提出一切运动都要找出其力学原因的思想,为机械唯物主义做好了铺垫;地理大发现已经过去了一个多世纪,欧洲人早已有能力在地图上画满经度和纬度线,以准确定位地球上的每一点。
牛顿的《原理》正是在这样的背景下写作出来的。
《自然哲学之数学原理》的体系、结构和特点
牛顿并没有声称自己要构造一个体系。牛顿在《原理》第一版的序言一开始就指出,他要“致力于发展与哲学相关的数学”,这本书是几何学与力学的结合,是一种“理性的力学”,一种“精确地提出问题并加以演示的科学,旨在研究某种力所产生的运动,以及某种运动所需要的力”。他的任务是“由运动现象去研究自然力,再由这些力去推演其他运动现象”。
然而牛顿实际上构建了一个人类有史以来最为宏伟的体系。他所说的力,主要是重力(我们今天称之为引力,或万有引力),以及由重力所派生出来的摩擦力、阻力和海洋的潮汐力等,而运动则包括落体、抛体、球体滚动、单摆与复摆、流体、行星自转与公转、回归点、轨道章动等,简而言之,包括当时已知的一切运动形式和现象。也就是说,牛顿是要用统一的力学原因去解释从地面物体到天体的所有运动和现象。
在结构上,《原理》是一种标准的公理化体系。它从最基本的定义和公理出发,“在第一编和第二编中推导出若干普适命题”。第一编题为“物体的运动”,把各种运动的形式加以分类,详细考察每一种运动形式与力的关系,为全书的讨论做了数学工具上的准备;第二编讨论“物体(在阻滞介质中)的运动”,进一步考察了各种形式的阻力对于运动的影响,讨论地面上各种实际存在的力与运动的情况。牛顿在第三编中“示范了把它们应用于宇宙体系,用前两编中数学证明的命题通过天文现象推演出使物体倾向于太阳和行星的重力,再运用其他数学命题由这些力推算出行星、彗星、月球和海洋的运动”。在全书(我们选用的这个第三版)的最后,牛顿写下了一段著名的“总释”,集中表述了牛顿对于宇宙间万事万物的运动的根本原因——万有引力——以及我们的宇宙为什么是一个这样优美的体系的总原因的看法,集中表达了他对于上帝的存在和本质的见解。
在写作手法上,牛顿是个十分专注的人,他在搭建自己的体系时,虽然仿照欧几里得(euclid,约公元前3世纪)的《几何原本》,但从没有忘记自己的使命是解释自然现象和运动的原因,没有把自己迷失在纯粹形式化的推理中。他是极为出色的数学家,在数学上有一系列一流的发明,但他严格地把数学当做工具,只是在有需要时才带领读者稍微作一点数学上的远足。另一方面,牛顿也丝毫没有沉醉于纯粹的哲学思辨。《原理》中所有的命题都来自于现实世界,或是数学的,或是天文学的,或是物理学的,即牛顿所理解的自然哲学的。《原理》中全部的论述都以命题形式给出,每一个命题都给出证明或求解,所有的求证求解都是完全数学化的,必要时附加推论,而每一个推论又都有证明或求解。只是在牛顿认为某个问题在哲学上有特殊意义时,他才加上一个附注,对问题加以解释或进一步推广。
大多数读者在阅读《原理》时感到困惑和困难的是牛顿的对于命题的解决方式。首先,牛顿大量使用作图,采用几何学的证明方法;其次,牛顿大量运用比例关系式,这一点令读者感到繁杂,但却正是牛顿论证的有力之处。它在思想上符合牛顿的可测度空间和时间以及重量等物理概念只是相对性的见解,运算中回避了拘泥于单位制的麻烦并且使牛顿极为方便地引入了他发明的极大极小比方法。此外,我们应当理解到,在牛顿写作《原理》时,用来解决物体运动的动力学问题的有力工具微积分(牛顿称为流数法)还处于发明的初期,远远没有成熟到今天的样子,而牛顿本人正是这种技术的主要发明人之一。有证据表明,书中的许多论述,牛顿是通过自己发明的流数法或反流数法得到的,但在写作《原理》时,牛顿换成了当时人们较为熟悉的几何作图与代数运算相结合的形式。实际上,《原理》发表后,许多读者根本读不懂,以至于有人认为牛顿写了一本“连他自己也看不懂的书”,牛顿那令人眼花缭乱的数学技巧使许多当时一流的数学家也感到非常吃力。
《原理》中使用的数学、物理学和天文学概念术语非常多,其中有许多与我们今天常见的相同,但也有许多不同,还有一些今天已很少使用。这一点需要读者注意。
牛顿的《原理》大致上仿照古希腊欧几里得的《几何原本》来布局。全书是一种逻辑体系,从基本的定义开始,再给出几条推理规则(运动定律),经过一系列的推理和演算,得到一些普适的结论,再把这些结论应用到实际中与实验或观测数据相对照。
《原理》一开始就是“定义”和“运动的公理或定律”。其中“定义”部分共有8条,在随后的附注中又补充了4对十分重要的定义。
第一个定义是“物质的量”,也就是我们今天所说的“质量”。在当代物理学中,质量是一个最基本的物理概念,但在牛顿时代,这一点还没有得到公认,也没有国际公认的质量标准和统一单位制,因此牛顿利用物体的密度和体积来决定物质的量。这与我们今天的做法正好相反,我们是用质量和体积来定义密度。不了解历史背景的人会以为牛顿是在搞循环论证,实际情况是牛顿发现一切物体在运动中都有某种共同的不变的东西,不管物体怎样运动,受到怎样的力,它的体积与密度的乘积都是保持不变的,这就是物质的量,研究物体的运动时,必须要考虑到它。
第二个定义是“运动的量”,即质量与速度的乘积,也就是我们今天熟知的动量。
第三个定义是物体的惯性,表述物体保持其已有运动的大小和方向的本领(当物体不受其他外力作用时)。伽利略已经知道物体的惯性。今天我们知道,物体的质量越大惯性越大。
随后牛顿定义了外力、向心力及其度量,然后是向心加速度和向心运动量的定义。这些与我们今天物理教科书的定义大致相同,只是我们较多地谈论向心力和向心加速度,其他概念则较少用到。
这些概念总的来说是我们今天所熟知的,但在当时,正如牛顿所指出的,是“鲜为人知的术语”。
引起后世广泛讨论的是牛顿在附注中所作的4对补充定义,即绝对时间和相对时间、绝对空间和相对空间、绝对处所和相对处所以及绝对运动和相对运动等4对范畴,其中后两对是派生概念,而前两对十分重要。绝对时间和绝对空间是牛顿力学的基本框架和标志性概念,由此引申出后来的宇宙在时间和空间上的无限概念。牛顿用了较大篇幅解释他的时间和空间概念,但读者可能会认识到,牛顿的绝对的时间和空间并不是绝对必要的,至少在他的《原理》讨论所及不是必要的,这一对范畴为牛顿力学所提供的框架远较其所必要的来得充分。的确如此。其实牛顿自己也承认,绝对的时间和空间实际上是无法测度或被认识的,我们能确知的只是相对的时间和空间,它们才是在运算上有意义的。
那么怎样理解牛顿的绝对时间和空间呢?牛顿写作《原理》,有两大基本任务,一是建构自己的体系,另一是批驳笛卡尔学派的体系。绝对时间和空间概念虽然对于牛顿自己的计算并不是必要的,但对于预防对手的攻击却是必要的。在牛顿的体系中,巨大的宇宙空间里行星及其卫星各自在自己的轨道上运行,秩序井然又常运不已,这体系是上帝的创造,但上帝在创造它以后却不再进行干预。按照牛顿的力学,如果时间不是绝对的,则必然要顾虑到时间起点和终点问题;而要使得这一体系永远维持其稳定,空间又必须是真正的空,而且在尺度上也必须足够的大,它必须没有边缘,否则牛顿必须回答自己无法解答的空间的起点问题。牛顿把一切绝对的、无限的性质归结于上帝(我们将在《原理》最后的“总释”中见到有关论述),这是由其基本宗教信念决定的,绝对时间和空间范畴的引入,既很好地体现了牛顿的神学见解,又有效地回避了对手的诘难。
长期以来,很多学者,主要是哲学家,对牛顿的绝对时间和绝对空间概念进行了经久不息的讨论,并且因此给牛顿戴上或是“唯心”或是“唯物”之类的帽子。这些争论在科学上毫无意义可言,而且硬要给300多年前的历史人物贴上某种标签的做法,是一种肤浅幼稚的举动。例如,牛顿的绝对时空观,说它是唯心主义的,因为它没有把上帝彻底排除出局,把宇宙的第一次推动留给了上帝。那么,我们要问,如果牛顿不是使用绝对时空概念,他将把他的有限宇宙中的主宰者放在什么地方呢?他的绝对时空概念是不是使得上帝离人间更遥远一些了呢?实际上,正是牛顿的绝对时空观使得后来的唯物主义的无限宇宙论得到科学上的依据,它在很长一段时间里统治着我们的哲学和思想领域,然而,现代科学已经证明,它才是根本站不住脚的,我们的宇宙,的确在时间上是有起点的,其空间也是有限的。
还有一种见解认为牛顿的绝对时空观是形而上学的,说他看问题太绝对化了。但是,既然牛顿用这样的思维方式如此有效地建构了宏伟的宇宙体系,使得世人沿用它长达300年之久,我们还能要求牛顿什么呢?还有哪一种方法能给我们带来更多的关于世界的真正的知识呢?
牛顿在试图区分绝对运动和相对运动时,提出了一个历史上极为著名的“水桶实验”,300年来,几乎所有的大物理学家和哲学家都对这个实验发表过见解,有人辩驳,有人维护。对此,我们不多加评论,请读者自己思考。
总之,牛顿写下的定义,是过去300年来所有大科学家、哲学家、思想家们寻找灵感的地方,值得认真研读、思考。
紧接着定义部分,就是“运动的公理或定律”。在这里,牛顿给出了每一个中学生都能倒背如流的极为著名的“力学三定律”。我们看到,牛顿对力学三定律的叙述与我们今天的表述几乎完全一样,反映出牛顿对有关问题的思考极为成熟,经得起时间的长期考验。
随后牛顿就三定律做出了6条推论,讨论了力的分解与合成,以及由此而产生的运动的分解与合成。其中值得注意的是牛顿关于多个物体的公共重心所作的讨论,牛顿的公共重心相当于我们今天所说的质量中心。这一概念的使用,在以后讨论天体的运动时有着重要意义,也反映出牛顿从复杂现象中抽象出简单的有代表性的现象的能力。
第一编共有14章内容。
首先,读者应能注意到,牛顿在专门引入数学工具时,使用的是“引理”,而在论述本书正题时,使用的是“命题”。引理与命题都在必要的时候加入推论和附注。
牛顿在第1章首先引入极限概念、求极限的方法,引入无穷小概念和求曲线包围的面积以及求曲线的切线的方法。这一章中的11条引理是牛顿能够成就《原理》所依赖的最重要的数学手段之一,几乎全是牛顿自己的发明。牛顿在该章的附注中指出,“这些引理意在避免古代几何学家采用的自相矛盾的冗长推导”。其中的引理2、3和11正是牛顿运用著名的牛顿流数法的例证。牛顿是这样来为自己的无穷小概念辩护的:
“可能会有人反对,认为不存在将趋于零的量的最后比值,因为在量消失之前,比率总不是最后的,而在它们消失之时,比率也没有了。但根据同样的理由,我们也可以说物体达到某一处所并在那里停止,也没有最后速度,在它到达前,速度不是最后速度,而在它到达时,速度没有了。回答很简单,最后速度意味着物体以该速度运动着,既不是在它到达其最后处所并终止运动之前,也不是在其后,而是在它到达的一瞬间。”
第2章论述根据物体的运动轨迹(轨道)来求该物体所受到的向心力。这里,牛顿做出的是最一般化的讨论,曲线的形状包括正圆、椭圆、双曲线、螺旋线、抛物线等,物体到指定向心力中心的力与距离的关系则又有多种情况。其中命题4的推论6适用于天体运行的情况:“如果周期正比于半径的3/2次幂,则向心力反比于半径的平方;反之亦然。”这一关系,是牛顿宇宙论最核心的基石。
在随后的第3、4、5章中,牛顿进一步详尽考察了物体沿圆锥曲线运动时的有关问题,包括向心力的规律(反比于距离的平方)、确定曲线形状等。命题第22—29为几种由已知条件(点、线或某些区域)画出圆锥曲线,在当时的天体力学乃至当今的天文学中都有重要意义。
第6、7两章是求解已知轨道上物体的运动,相当于我们熟知的由已知方程求解。其中第7章是“物体的直线上升或下降”,把伽利略的自由落体运动定律推广到最一般的情形。
由前面几章的铺垫,牛顿就可以在随后的几章里运用力和运动的合成与分解方法,讨论抛体运动、摆体运动和物体沿轨道运动时的回归点运动,以及其他受两种以上力的物体的运动。
第11章“受向心力作用物体的相互吸引运动”是整个第一编的高潮,其中的命题66是整部《原理》中最长的一个,它讨论了3个相互间都有吸引力作用的物体的复杂的相互运动关系,推论多达22个,几乎讨论了地面物体的运动、各种天体的运动、天体轨道的运动、潮汐运动等所有形式,差不多可以认为它就是一部浓缩的《原理》。但是,这一命题所讨论的还不是严格的三体问题,对三体问题的正式讨论出现在第三编的命题22。
第12章中再次出现了极为重要的内容。这一章的标题是“球体的吸引力”。在命题76的推论3和4中,我们看到了今天尽人皆知的万有引力定律的文字表述。这一定律还将在随后的论述中多次出现,全书最后的总释中也以更加标准的形式加以表述。需要指出的是,我们今天谈到牛顿的丰功伟绩时,首先会谈到他的万有引力定律,其次才是他的力学三定律。《原理》的读者可能很容易在书中发现他的力学三定律,但找不到万有引力定律,原因是牛顿并没有把这一定律像我们今天这样把它突出出来。但是,这并不意味着牛顿本人不认为万有引力定律有普适意义,而是在牛顿那里,万有引力的大小、方向等规律必须是推导出来的结果,不是当做经验性的普适原理直接引入的。
在随后的第13章,牛顿把由典型的球形物体得出的引力规律进一步推广到一般的非球形物体。
第一编的最后一章也是值得注意并且十分有趣的。牛顿讨论“受指向极大物体各部分的向心力推动的极小物体的运动”。在这里,极大物体指的实际上是具有平行平面的光学介质,而极小物体指的是光线。牛顿认为,光的本性是极其微小的颗粒,这些微小颗粒受力学规律的支配。这就是在历史上一度产生巨大影响的关于光的本性的“微粒说”,牛顿是这一学说的鼻祖。与牛顿同时代的荷兰物理学家惠更斯提出关于光的本性的“波动说”,曾在《原理》发表以前得到普遍认同,但后来由于牛顿和《原理》的巨大影响,微粒说压倒了波动说,直到19世纪托马斯·杨(thomas young,1773—1829)的光的干涉实验得到波动说的圆满解释后,波动说才又重新抬头。有趣的是,到20世纪初量子论提出来后,光的微粒说又得到复活。现在的通行观点是光以及所有的粒子都有微观粒子所特有的“波粒二象性”。在《原理》中,牛顿把光看作是粒子,在考虑了介质的吸引或排斥作用后,推导出了光的折射定律。牛顿还进一步考察了光在经过介质后所产生的像差,指出运用折射原理的任何光学仪器都不可能产生出完美的像。
《原理》的第一编篇幅巨大,它具备了牛顿力学的全部主要内容,包括基本定义、力学三定律和万有引力定律、求极限和无穷小数学手段、物体的各种运动形式、物体的各种受力情况、各种运动轨道与受力的关系,甚至还涉及光的传播、海洋潮汐运动等等。正如有的学者所评论的,即使《原理》没有完整出版,仅仅凭着这第一编,就足以使牛顿成为有史以来最伟大的人物之一。
尽管牛顿本人认为《原理》的第二编也和第一编一样是推导“若干普适命题的”,但是今天的人们还是倾向于认为这个第二编主要是属于第一编的应用部分。牛顿给它的标题与第一编几乎相同,叫做“物体(在阻滞介质中)的运动”,其括号中的限定语说明第二编所讨论的主要是地面物体的实际运动情况。这一部分中虽然没有第一编中那么多君临天下的大规则、大定义,但却也推导出许多重要的具体结论,读起来常常令人顿生“原来如此”的感慨。
本编的导读,我们不再逐章逐节地介绍,而是换一种方式,把值得特别指出的成果进行罗列。
第一值得指出的是牛顿在引理2中介绍了他发明的求微分或导数的方法,即牛顿流数法。牛顿说,一个变化的量,其增大或减少的速率,他称之为“瞬”,“是一种普适方法的特例或更是一种推论,它不仅可以毫不困难地推广到求作无论是几何的还是力学的曲线的切线,或与直线及其他曲线有关的方法中,还可用于解决有关曲率、面积、长度、曲线的重心等困难的问题”。显然,这一方法正着用是求导数,反着用就是求积分。牛顿分6种情形详细介绍了求导数的方法,还做出了3项推论。我们已经知道,牛顿早在大鼠疫时期就发明了这种方法,这是他一生中最为杰出的发明之一。
第二,牛顿演示了在求解极为复杂的问题时,可以采用近似求解的方法。在命题10中,牛顿具体演示了求解抛体在阻滞介质(空气)中的运动时,用双曲线来近似替代更为复杂的抛物线的方法求解。他甚至还就这种方法给出了8条规则。实际上,直到今天,科学家们拥有功能强大的运算工具电子计算机,在求解大量的科学、技术和工程问题时还是必须大量采用近似求解的方法。难能可贵的是,牛顿的演示表明,近似的方法,在大大简化求解难度的同时,又不会过度失去严格性,这正是现代科学的精妙所在。
第三,牛顿通过严格的数学推导和大量的实验数据演示了怎样通过在介质(如水、空气)中的摆体的运动来求出介质的阻力(见第6章,命题24—31)。在这中间,牛顿甚至还教给人们怎样处理数据的误差,消除不合理的实验数据。在第6章的总注的最后,牛顿还设计了一个摆体实验,用于检测以太的存在。牛顿的结论是以太不存在。顺便指出,在现代物理化学实验中,许多物体的特性(特别是力学特性)仍然是运用形形色色的摆体实验来测定的,当然,实验装置比牛顿的要复杂,但基本原理并无大的不同。
第四,在第8章,牛顿通过设想流体由流体粒子所组成,推导出波动的小孔扩散效应。这一效应被运用到推算声音的传播速度,牛顿得到的数据(包括做了些修正)是一秒钟行进约979英尺,经过一系列修正后达到1142英尺,相当于381米,与他的实测数据完全吻合。这一数据与当代的实验数据有较大出入,但牛顿正确地估计到了空气的压力、湿度等因素对于音速有较大影响。
第五,在这一编的最后部分(第9章),牛顿精心安排了“求解流体的圆运动”内容。牛顿在这不长但却令人瞩目的一章中,只安排了3个命题(51—53),分别讨论无限长柱体、球体在均匀介质中旋转时传递给介质的运动,以及涡旋自身的运动规律。其中命题52十分重要,它有3种情形、11条推论和1条附注。牛顿推导出,像太阳那样的球体旋转所带动的宇宙涡旋(如果有这种东西的话)运动,各部分的速度与它到涡旋中心的距离是成正比的,然而天文观测事实是,行星的速度与它们到太阳的距离的3/2次幂成正比,各卫星与行星的关系也是如此。牛顿挖苦说,“还是让哲学家们去考虑怎样由涡旋来说明3/2次幂的现象吧”。牛顿经常以“哲学家”来称呼他的论敌,这一个命题及其推论是对笛卡尔及其学派涡旋说的最直接最沉重的打击。
牛顿摧毁了一个旧的世界,以下就要建立起自己的新世界了。
牛顿曾为《原理》写过两个第三编,一个是我们现在看到的,题为“宇宙体系(使用数学的论述)”,另一个题为“宇宙体系”,是一个非数学的通俗写法。牛顿把使用数学论述的宇宙体系收入正式出版的《原理》作为第三编。在第三编开头的引言中,牛顿指出,只要读者仔细阅读过本书前面的定义、运动定律和第一编的前3章,就可以直接阅读第三编,而在遇到引述的命题时,再回到前面查阅。
第三编是《原理》中最为辉煌的篇章。它气势磅礴,美轮美奂。在这一章中,牛顿详细地描绘了他的宇宙体系,太阳与各行星、各行星与它们的卫星之间的相互关系,以及彗星的运动和地球上海洋的潮汐运动。牛顿以万有引力作为所有这些现象的动力学原因,可以说是有史以来人类所能对宇宙做出的最大的立法。牛顿的宇宙,结构简单明快,不留丝毫的神秘和含糊,这种结构的运行机制是如此的简单、如此的强有力、如此的稳定、如此的井井有条,实在是令人叹服。
在这一编的写作安排上,牛顿取消了章的设置,直接由一个个命题展开论述,重要的命题安排附注加以解释或总结。
这一编开头,牛顿先写下了4条“哲学中的推理规则”,它们实际上就是自然哲学即我们今天所说的科学研究的基本推理规则,值得每一个有志于研究问题的人默记在心。
然后牛顿罗列了6种天文现象,分别描述木星及其卫星系统、土星及其卫星系统、太阳与5大行星系统(当时人们只发现了太阳系的5大行星)和地球与月球的运行关系,实际上是复述了开普勒的行星运动三定律。需要特别注意的是,整个第三编涉及大量天文学术语以及许多地理学和历史学知识,阅读起来有一定的难度,要求读者有较宽的知识面。
运用上述推理规则、前文的推导结果,牛顿就正式开始对上述现象给出解释,展开他那壮美的宇宙画卷。
命题1—17,牛顿逐一论述了木星系统、太阳系、地—月系统、土星系统等的运动情形和轨道变化。在这期间,我们会多次看到万有引力定律的表述,特别是其中的命题8。还有一个令人惊异之处,牛顿仅仅凭着观测到的行星运行数据和引力定律,就推算出各个行星的物质的密度,进而推算出那里引力的强弱和物体重量情况,教人大开眼界。
命题18、19和20更进一步推算出地球的形状和物体重量随地理位置的变化。牛顿指出,地球的自转使得其两极处较之赤道处更加扁平。这是一个可以直接验证的科学预言。如果按照笛卡尔学派的观点,地球的形状正好与牛顿的预言相反,是两极处高于赤道处。这正好是两种宇宙体系在同一个具体问题上尖锐冲突的地方。后来欧洲国家特别是法国多次派出远征考察队到全球各地实地测量地球数据,得到的结论无一不支持牛顿,而与笛卡尔的相左。历史事实是,正是由于牛顿预言的地球形状得到确认,才使得欧洲人、特别是民族自豪感极为强烈的法国人最终抛弃笛卡尔学说,转而接受牛顿体系。
从命题22到命题39,牛顿对月球运动的不规则现象进行讨论。现代天文知识告诉我们,由于日、地、月三者之间的相互影响,月球的运动十分复杂,处理起来十分棘手。牛顿正确地判断出这三者的关系对于月球运动的不规则性有重要影响。命题22被认为是历史上第一次正式提出三体问题,这样的问题至今还是没有精确解的。
一般认为,牛顿的月球理论问题最多,致使《原理》乃至整个牛顿学说备受当时论敌诟病。这是实情。然而牛顿的月球理论的问题主要是具体数据的问题,不是思路和方法上的问题,更不表明牛顿的力学理论和宇宙理论是错误的。我们知道,牛顿早在1665—1666年间就已经形成了他的力学和宇宙体系的基本看法,并且做出了大部分的理论计算和推导,但他迟至20年后才发表所有这一切,有一种解释就是牛顿一直认为有关的天文观测数据特别是月球的观测数据与他的理论有较大出入,迫使他搁置自己的发明,也促使他积极置身于天文观测工作。这种见解至少是部分合理的。当然,牛顿推迟发表《原理》的原因,主要并不是因为要等待观测数据,而是因为他一直无法在数学上建立起平方反比关系与行星椭圆轨道之间的对应关系。牛顿是在1679年才解决了有关的问题。但是,限于当时的天文观测工具水平,牛顿以及当时所有的天文学家都不可能得到高精度的观测数据,因此月球理论与实际情况之间的误差是不可避免的。
这一部分的论述,虽然有关月球的部分误差较大,但关于海洋潮汐运动和地面物体在不同纬度有重量变化的推导和论述却是高度可靠的。牛顿用统一的理论解释了地球形状与地面物体随纬度变化现象,所依据的关键性证据是在地球各不同地点的摆体的周期变化。这再好不过地证明了他的引力理论和把地球重量集中于地心的抽象假设的合理性,真是意料之外、情理之中。
海洋潮汐运动理论是牛顿的引力理论与流体力学的综合运用。牛顿收集的海洋数据来自全球各地,牛顿极为雄辩地指出,月球运动是潮汐的根本原因,太阳也对潮汐有影响,但与月球相比只有约1/5左右。月球驱动海洋的力量只有地球上重力的二百万分之一,这样小的力在任何力学研究中都绝对是微不足道的,但对于浩瀚的海洋,它足以引起波涛汹涌的大潮。相信每一位读者读到这里,都会掩卷叹服,拍案叫绝。
与此同时,牛顿还顺带着推导出太阳、地球和月球的密度、形状和体积,以及地球与月球的距离等。这些在当时都是唯有牛顿的理论才能推算出来的数据。
在谈论完月球与海洋之后,牛顿写到了整部《原理》中最精彩夺目的部分:彗星理论。
彗星是人类记录到的最古老的天文现象之一,各民族(包括中国)的史料中都有记载,但都认为彗星的出现是灾祸的征象,它居无定所,来去匆匆。牛顿受到其他天文学家的启发,运用来自全球各地的大量观测数据、他本人的观测数据,甚至还运用了大量的古代文献记载,证明彗星是与行星十分类似的天体,以偏心率极大的椭圆轨道围绕太阳运行,其近日点可以潜入水星轨道以内,远日点则达到遥远的宇宙深处,其环绕周期可能长达数百年,甚至更多。
这一部分的命题只有3个:命题40、41和42,但牛顿为了计算彗星的轨道,引用了多达8个引理。其中命题40之后的引理5有重要意义,它就是十分著名的牛顿内插公式。
牛顿十分幸运,他亲身经历了1665年、1680年、1683年和1723年出现的几次彗星的观测,这使他有可能用丰富的数据资料反复验证自己的理论。
牛顿指出,根据哈雷博士的研究,1680年出现的彗星绕太阳运行周期是575年。牛顿沿着史料记载一直追溯到公元前44年,那一年恺撒(julius caesar,前 100—前44)大帝被刺杀。随后它在531年、1106年和1680年出现,每一次都带来极为壮观的彗星景观,其彗尾在天空中跨越几十度,能照亮夜空。由于它周期极长,因而当它处于近日点时到太阳的距离还不足太阳直径的1/6。
牛顿还指出,1682年出现的彗星,经过哈雷的计算,与1607年的彗星的轨道应当是相同的,即它们是同一颗彗星,其周期为75年。今天我们知道,这颗彗星的确在1758年、1834年、1910年、1986年回到地球,周期为76年,它就是著名的哈雷彗星。
除了推算出彗星的轨道和周期,牛顿还以与现代天文学极为吻合的方式解释了彗尾现象:彗星在近日点受到太阳加热,放射出气体物质,气体物质又受到阳光的照射而反光。牛顿甚至还估计了彗尾的稀薄程度。
还有,牛顿进一步大胆设想,新星和超新星的出现与彗星有关,彗星在环绕运动的末期被恒星俘获落入恒星放出巨大能量。但这一推测是错误的。此外,在牛顿撰写的“宇宙体系”(使用非数学的论述)中,还提到太阳系外层行星(土星)的远日点有前移现象,牛顿认为,“这可能是由于在行星区域以外有彗星沿极为偏心的轨道运行,很快地掠过它们的近日点,并在其远日点处运动极慢,在行星以外区域度过其几乎全部的运行时间”。这一思想的实质是,在内层轨道上的行星运动的不规则性,可能是由外层行星的摄动引起的。有论者指出,牛顿在这里实际上预言了天王星的存在。天王星于1781年被发现。而海王星的发现,也是由于人们观测到天王星轨道的摄动。这一例子说明牛顿理论的强大预言能力。
这样,天空中最困扰人类的彗星现象终于被纳入牛顿的宇宙体系,得到了最有说服力的合理解释。至此,牛顿也就在令读者沉醉于凝视彗星景观与繁星密布的苍穹中结束了《原理》。
在《原理》的第一版中,牛顿没有安排这一部分内容,于是招致来自宗教界和神学界的强有力的批评。批评者主要指责的是牛顿的体系中没有上帝的位置,《原理》(第一版)甚至通篇没有提及上帝。其中贝克莱大主教(bishop berkeley,1685—1753)和莱布尼兹的批评很有分量,他们都有充分资格与牛顿对话。贝克莱大主教认为牛顿的绝对时空观排除了上帝的存在的可能性,因而属于无神论。贝克莱甚至还仔细推敲了牛顿的流数法、无穷小和极限概念及理论,指出了它们在数学上没有足够的理论基础,甚至是荒谬的。牛顿生前总算在与莱布尼兹的优先权争执中取得胜利,但对贝克莱的批评却无法做出解答。实际上,微积分的基础极限论要到19世纪才发展完备,其复杂和抽象程度远不是牛顿时代的人们能够想象的。
莱布尼兹则认为万有引力是一种说不清道不明的“隐秘的质”,连上帝也说不清。在这篇“总释”里,牛顿回应了莱布尼兹的指责,但语气上比较含糊。而他的学生科茨(roger cotes,1682—1716)在为《原理》第二版所作的序言中对莱布尼兹做出了猛烈回击。人们公认,科茨为《原理》写的这篇序言是得到了牛顿充分认可的,是一篇完整阐述牛顿自然哲学思想的檄文。
但是牛顿必须澄清自己的神学见解。在他那个时代,对于有教养的人和有社会地位的人来说,不信神或者无神论者是一个可怕的罪名。牛顿当然不愿戴上这顶帽子,更何况牛顿本来笃信上帝,自幼就有着极为深沉的宗教情感,坚信自己所做的一切都是服务于证明上帝的存在和解释上帝的创造物的庄严、伟大和秩序。近年研究牛顿的学者发现,牛顿青年和中年时代,大约是想使自己成为一个集大成的神学家,自然哲学、数学只是他向着这个方向努力的一个方面而已。我们甚至不妨这么来看问题:对于牛顿来说,《原理》和他的伟大宇宙体系,只是他的神学研究总体计划中的一个局部的或阶段性的成果。由此也就容易理解为什么《原理》和《光学》发表后,牛顿又那样专注地沉迷于神学研究,并写下页数十倍于自然哲学手稿的神学手稿。因此在《原理》第二版发表时,牛顿加写了这段总释,集中表述了他的上帝观和上帝与他的宇宙体系之间的关系。据学者们研究比较,牛顿的这段总释到《原理》发表第三版时又做了一些字句上的改动,就是我们现在所见到的。
“总释”并不长,大约只有4000余字。
一开头,牛顿简单复述了涡旋说的困境:无法解释行星周期与3/2次幂的关系,无法解释彗星的现象;随后,牛顿重申了宇宙空间的真空特性。然后他指出,天体维系在其轨道上的原因似乎不大可能仅仅是由于万有引力规律的存在,“它们绝不可能从一开始就由这些规律中自行获得其规则的轨道位置”。这里就为日后人们反复提起的“第一推动”留下了伏笔。
牛顿进一步描述了他发现的(也就是上帝所创造的)宇宙体系:
“六个行星在围绕太阳的同心圆上转动,运转方向相同,而且几乎在同一个平面上。有十个卫星分别在围绕地球、木星和土星的同心圆上运动,运动平面也大致在这些行星的运动平面上;……彗星的行程沿着极为偏心的轨道跨越整个天空的所有部分,……这个最为动人的太阳、行星和彗星体系,只能来自一个全能全智的上帝的设计和统治。”
牛顿进一步猜想:“如果恒星都是其他类似体系的中心,那么这些体系也必定完全从属于上帝的统治。……为避免各恒星的系统在引力作用下相互碰撞,他(上帝)便将这些系统分置在相距很远的位置上。”
到这里,牛顿肯定了上帝的存在,肯定了这个“最为动人” 的体系来自于上帝的设计和统治。到这里,我们不免会注意到牛顿明显地回避了《圣经·创世纪》中讲的上帝创造世界的故事:他似乎不反对上帝创世,但他不同意《圣经》中的那种创世说。在他自己的宇宙里,他只强调了上帝对于宇宙的统治权。
他说,“上帝不是作为宇宙之灵而是作为万物的主宰来支配一切的”。牛顿比较了统治权与自治权的区别,指出一般人心目中的上帝只不过是有自治权的神,但真正的上帝是享有对于一切的统治权的。“只有拥有统治权的精神存在者才能成其为上帝:一个真实的、至上的或想象的统治才意味着一个真实的、至上的或想象的上帝。”
然后,牛顿由上帝的统治权推导出上帝的禀赋,一个他心目中与常人想象的不同的上帝:统治意味着能动性和全能全智,完善和至上,支配一切。“他不是永恒和无限,但却是永恒的和无限的;他不是延续或空间,但他延续着而且存在着。他永远存在,且无所不在;由此构成了延续和空间。”
到这里,牛顿大致回应了贝克莱主教对他的指责,在绝对时间和绝对空间与上帝之间挂上了联系。紧接着,牛顿回击了莱布尼兹的诘难:
上帝“以一种完全不属于人类的方式,一种完全不属于物质的方式,一种我们绝对不可知的方式行事。就像盲人对颜色毫无概念一样,我们对全能的上帝感知和理解一切事物的方式一无所知。……我们能知道他的属性,但对任何事物的本质却一无所知。……我们无法运用感官或任何思维反映作用获知它们的内在本质;而对上帝的本质更是一无所知”。
“因此,像莱布尼兹那样妄论引力是不是上帝的意志、或其属性、或什么隐秘的质的人,才是真正不敬神的人。”
最后,牛顿没有忘记为自己所从事的自然哲学的研究进行辩护:
“我们只能通过他(上帝)对事物的最聪明、最卓越的设计,以及终极的原因来认识他;……我们随时随地可以见到的各种自然事物,只能来自一个必然存在着的存在物的观念和意志。……我们关于上帝的所有见解,都是以人类的方式得自某种类比的,这虽然不完备,但也有某种可取之处。……而要做到通过事物的现象了解上帝,实在是非自然哲学莫属。”
到这里,牛顿结束了对上帝的谈论。
总的来说,牛顿的上帝见解的确与大多数基督徒的见解不同。他不谈论上帝创世,但他谈论上帝“治世”;一般人认为“是”上帝的东西,他认为那只“属于”上帝;普通信众认为要认识和接近上帝必须祷告和诵读《圣经》,他却认为应当研习自然哲学。
有的论者认为牛顿实际上只是一个泛神论者或自然神论者,这是不对的。仅从《原理》的这一篇“总释”来看似乎有些道理,但是这并不是真正的牛顿。牛顿信仰上帝,而且认为自己负有重要的神学使命。读者应当记得牛顿的生日那天是圣诞节,这一巧合成为牛顿的精神负担。他以为自己的使命是向世人宣示宇宙的真理。人们无不惊异牛顿的《原理》是一部纯粹的科学著作,正文通篇与上帝毫无关系;人们同样惊异牛顿坚信《圣经》是古代贤哲写给后人的密码书,其中深藏玄机,而历代流传下来的《圣经》已经充满讹误,甚至还被篡改过,牛顿自觉承担研究《圣经》年代学的任务,他要还《圣经》以本来面目,并且解读其中的秘密;人们还惊异牛顿相信炼金术,经常夜以继日地守候在乌烟瘴气的炼金炉前,还曾经为此累垮了身体甚至中毒,牛顿认为炼金术中也深藏着宇宙机密;当然,人们还会惊异牛顿巨大的管理才能和在官场上的老道练达,在运用统治手段时那种毫不留情和摧毁对手的残忍。牛顿是个极为复杂的历史人物。
在这篇“总释”中,牛顿刚刚谈论完上帝,就再次表述了他的万有引力定律:“它(引力)取决于它们(粒子)所包含的固体物质的量,并可向所有方向传递到极远距离,总是反比与距离的平方减弱。”但是,牛顿坚定地拒绝谈论万有引力的原因。关于引力从何而来的问题,他实际上是这样回答的:“不知道。”
后世的哲学家们真是应当感谢牛顿,因为他描述完自己的体系之后,又谈论起自己的方法论来,写下了一段可以让他们大书特书、聚讼纷纭的文字:
“我也不构造假说;因为,凡不是来源于现象的,都应称其为假说;而假说,不论它是形而上学的或物理学的,不论它是关于隐秘的质的或是关于力学性质的,在实验哲学中都没有地位。在这种哲学中,特定命题是由现象推导出来的,然后才用归纳方法做出推广。……对于我们来说,能知道引力确实存在着,并按我们所解释的规律起作用,并能有效地说明天体和海洋的一切运动,即已足够了。”
显然,牛顿写这段文字时心里是想着德国人莱布尼兹的,这是一段带有论战性的文字,不能代表牛顿一以贯之的总的方法论态度。牛顿显然极为满意于自己的发明,极为满意自己构造的有史以来最大的假说。他好像向对手摊开了双手,挑衅说:我做到了,你行吗?就像今天的科学家们争吵时常说的,拿出实验结果来,拿出观测数据来!
“不构造假说”和“在实验哲学中没有地位”是牛顿所有的文字中被现代人炒作得最多的。牛顿是伟人,他的话当然一定是微言大义了。
在牛顿的时代,像牛顿这样只对宇宙体系进行描述而拒绝做出充分说明和解释的做法,是有些不合时宜的。学界的风气是一事当前必先追问终极原因,这种思维方式至今仍在许多人的头脑中存在,但它在大多数场合并不能给人们带来更多的知识。牛顿的这种思维可以追溯到伽利略。伽利略对人们说,要先搞清楚事物是怎么样,然后才能回答为什么。在思辨风气甚嚣尘上的时代,伽利略得不到广泛的认同,而自牛顿始,这种先描述后解释的思维才成为自然科学的标准思维,正因为如此,牛顿以后的科学才步入正轨,日益昌明。
然而更值得称道的是,牛顿在深深自负于自己的发明之余,并没有忘记求实的态度:牛顿谈到了某种最精细的精气的事情,它使物质粒子在近距离上相互吸引,一旦接触就粘连在一起;它还使带电物体既推斥又吸引其他物体;使光发射、反射、折射,并加热物体;使感官受到刺激,使躯体受到意志的驱动,等等。牛顿暗示,他的学说对这些现象还无能为力。
这是一种美德:谦逊。牛顿本人清醒地看到了自己理论的不足。
今天的科学和技术大大超越了牛顿的时代,但是在两个问题上我们还没能超越牛顿:一是建构一个与牛顿的同样简单的宇宙体系;二是用统一的理论去描述和解释牛顿在上面提到的种种现象。
牛顿出生于公元1642年12月25日,那天是基督教的圣诞节,地点在英国的林肯郡伍尔索普镇。牛顿家境贫寒,父亲是个小农场主,在牛顿出生以前三个月就已经去世,那时他的生身父母结婚才半年多。牛顿3岁时母亲改嫁给一位牧师,是外祖母把他抚养大。12岁时他的继父又去世,他回到了母亲身边,发现自己多了三个同母异父的弟妹。牛顿的小学教育,主要是在外祖母家完成的。
牛顿在离家较远的格兰萨姆文科学校读中学,寄宿在一位药剂师的家中。在那里,他获得了极为宝贵的广泛阅读各类书籍,制作各种玩具,从事多种化学、物理实验的机会。
牛顿的童年没有得到父爱和母爱,这种不幸使小牛顿性格孤僻内向。他没有知心朋友,他的课余时间全都献给了如饥似渴的阅读和兴趣盎然的实验。但是他的学习成绩不好,一度还是班级里倒数第二。直到有一次他与一个欺负他的同学打架并且赢得了那场本来实力悬殊的殴斗,他萌发出强烈的上进心,天才的一面开始展现出来,成绩也一跃进入前茅。
牛顿中学毕业后以优异成绩被推荐到剑桥大学三一学院。他极其勤奋地读书、思考,他研究了大量古代和当代人的著作,特别是有关自然哲学、数学和光学方面的。不久他的指导教师就发现这个学生的学识已经超过了自己。1665年和1666年间,英国流行大鼠疫,各大学师生被疏散,牛顿回到家乡。在这18个月里,牛顿度过了他一生中最富于创造力的阶段。
牛顿晚年回忆道:“1665年初,我发现了逼近级数法和把任意二项式的任意次幂化成这样一个级数的规则。同年5月,我发现格里高利(gregory,james,1638—1675)和司罗斯(slues,rené-francois de,1622—1685)的切线方法。11月,得到了直接流数法。次年1月,提出颜色理论。5月里我开始学会反流数方法。同一年里,我开始想到引力延伸到月球轨道(并且发现计算使小球紧贴着内表面在球形体内转动的力的方法),并且由开普勒定律、行星运动周期倍半正比于它们到其轨道中心距离,我推导出使行星维系于其轨道上的力,必定反比于它们到其环绕中心距离的平方。因而,对比保持月球在其轨道上的力与地球表面上的重力,我发现它们相当相似。所有这些都发生在1665—1666那两年的大鼠疫期间。那时,我正处于发明初期,比以后任何时期都更多地潜心于数学和哲学。”
1667年剑桥大学复课,牛顿当选为三一学院院士。两年后,牛顿接替著名的数学家巴罗(isaac barrow,1630—1677)任鲁卡斯教席数学教授。1668年牛顿发明并制作出第一台反射望远镜,1671年他制作了第二台并赠送给英国皇家学会,不久当选为该学会会员。在科学研究中崭露头角的牛顿遭到胡克(robert hooke,1635—1702)等人的刁难,卷入旷日持久的关于光的本性的争论;约10年后牛顿与胡克之间又发生关于引力和运动学方面的争论;在《原理》写作期间(1686)和出版后,牛顿与胡克又发生关于发现万有引力的优先权问题的争论;同时牛顿与德国人莱布尼兹(wilhelm gottfried leibnitz,1646—1716)之间又发生关于微积分的发明权的争论。
1679年,牛顿与胡克的争吵十分激烈。胡克对牛顿关于引力的见解提出强烈质疑,这促使牛顿全面考察了开普勒(johannes kepler,1571—1630)定律、伽利略(galileo galiei,1564—1642)运动学公式与引力之间的关系。这一年,牛顿终于证明了引力的平方反比关系与行星椭圆轨道之间的对应关联。至此,牛顿的整个宇宙体系和力学理论的基本框架宣告完成。
牛顿在1684年才进入写作《原理》的准备阶段。到那一年,哈雷(edmond halley,1656—1743)、胡克和雷恩(christopher wren,1632—1723)三人大约同时猜到引力的平方反比关系与行星的椭圆轨道之间有必然联系,但他们都无法证明这一点。哈雷请教牛顿,牛顿表示他在几年前已经证明了这一点,但是原先的手稿找不到了,他可以给哈雷再证明一遍。牛顿重新写出了一篇《论轨道上物体的运动》,文中证明,天上与地上的物体服从完全同样的运动规律,引力的存在使得行星及其卫星必定沿椭圆轨道运动。
哈雷一眼看出这篇论文有划时代的价值,他敦促牛顿把它扩充为专著发表。于是1685和1686两个年份的18个月里,牛顿专心致志地从事写作,《原理》这部伟大著作从牛顿的笔下源源不断地流淌出来。牛顿显然是有长期研究所取得的丰富成果作为基础,他写下的论述事无巨细,都经过深思熟虑。他的写作速度之快令人惊异,他写作时的专注忘我令人感佩。
值得一提的是,皇家学会虽然十分重视牛顿的《原理》,但却没有财力资助出版它,是哈雷自费出版了牛顿的这部著作。
《原理》的出版震动了整个英国和欧洲学界。牛顿一跃成为当时欧洲最负盛名的数学家、天文学家和自然哲学家。人们争相向他表示敬意,英国王室请他做客,欧洲公认的最伟大的几何学家惠更斯(christiaan huygens,1629—1695)专程到英国拜访他,各国元首和贵族访问英国时也要去看望他,以结识他为荣。1689年,牛顿当选为国会议员;1696年,牛顿获得造币局总监任命;1701年,他再次当选国会议员;1703年,当选为英国皇家学会会长;1705年,受女王册封成为爵士。
《原理》第一版出版时牛顿43岁。他的后半生研究强度大大减少,1704年他的另一重要著作《光学》出版,这本书是以英语写作的。1707年,他出版了《数学通论》,这部著作没有引起广泛重视。在他生前,《原理》出版三个版本,第二版在1713年,第三版在1726年。
牛顿的后半生主要从事的工作和活动有:
社会活动。他应付各类社会名流贤达的拜访,从事国家造币局的管理工作,管理皇家学会。
与胡克、弗拉姆斯蒂德(john flamsteed,1646—1719)、莱布尼兹等人争论。
研究神学和《圣经》。
研究炼金术。
整理出版自己的著作和文稿。
牛顿终生未娶,1727年3月20日逝世,英国王室为他在西敏寺大教堂举行了国葬。(王克迪 中央党校教授)
序言
牛顿
由于古代人(如帕普斯①告诉我们的那样)在研究自然事物方面,把力学看得最为重要,而现代人则抛弃实体形式与隐秘的质,力图将自然现象诉诸数学定律,所以我将在本书中致力于发展与哲学相关的数学。古代人从两方面考察力学,其一是理性的,讲究精确地演算,再就是实用的。实用力学包括一切手工技艺,力学也由此而得名。但由于匠人们的工作不十分精确,于是力学便这样从几何学中分离出来,那些相当精确的即称为几何学,而不那么精确的即称为力学。然而,误差不能归因于技艺,而应归因于匠人。其工作精确性差的人就是有缺陷的技工,而能以完善的精确性工作的人,才是所有技工中最完美的,因为画直线和圆虽是几何学的基础,却属于力学。几何学并不告诉我们怎样画这些线条,却需要先画好它们,因为初学者在进入几何学之前需要先学会精确作图,然后才能学会怎样运用这种操作去解决问题。画直线与圆是问题,但不是几何学问题。这些问题需要力学来解决,而在解决了以后,则需要几何学来说明它的应用。几何学的荣耀在于,它从别处借用很少的原理,就能产生如此众多的成就。所以,几何学以力学的应用为基础,它不是别的,而是普遍适用的力学中能够精确地提出并演示其技巧的那一部分。不过,由于手工技艺主要在物体运动中用到,通常似乎将几何学与物体的量相联系,而力学则与其运动相联系。在此意义上,理性的力学是一门精确地提出问题并加以演示的科学,旨在研究某种力所产生的运动,以及某种运动所需要的力。古代人曾研究过部分力学问题,涉及与手工技艺有关的五种力,他们认为较之于这些力,重力(纵非人手之力)也只能表现在以人手之力来搬动重物的过程中。但我考虑的是哲学而不是技艺,所研究的不是人手之力而是自然之力,主要是与重力、浮力、弹力、流体阻力以及其他无论是吸引力抑或推斥力相联系的问题。因此,我的这部著作论述哲学的数学原理,因为哲学的全部困难在于:由运动现象去研究自然力,再由这些力去推演其他现象;为此,我在本书第一和第二编中推导出若干普适命题。在第三编中,我示范了把它们应用于宇宙体系,用前两编中数学证明的命题由天文现象推演出使物体倾向于太阳和行星的重力,再运用其他数学命题由这些力推算出行星、彗星、月球和海洋的运动。我希望其他的自然现象也同样能由力学原理推导出来,有许多理由使我猜测它们都与某些力有关,这些力以某些迄今未知的原因驱使物体的粒子相互接近,凝聚成规则形状,或者相互排斥离散。哲学家们对这些力一无所知,所以他们对自然的研究迄今劳而无功,但我期待本书所确立的原理能于此或真正的哲学方法有所助益。
埃德蒙·哈雷(edmond halley)先生是最机敏渊博的学者,他在本书出版中不仅帮助我校正排版错误和制备几何插图,而且正是由于他的推动本书才得以发表,因为他在得知我对天体轨道形状的证明之后,一直敦促我把它提交皇家学会,此后,在他们善意的鼓励和请求下,我才决定把它们发表出来。但在开始考虑月球运动的均差,与重力及别的力的规律和度量有关的某些其他情形,以及物体按照已知定律受吸引的轨迹形状,若干物体相互间的运动,在阻滞介质中的物体运动,介质的力、密度和运动,彗星的轨道等等诸如此类的问题之后,我延迟了这项出版,直到我对这些问题都做了研究,并能将它们放到一起提出之时。与月球运动有关的内容(由于不太完备)我都囊括在命题66的推论中,以免此先就得提出并阐明一些势必牵扯到某种过于繁冗而与本书的宗旨不相合的方法的问题,从而打乱其他命题的连贯性。至于事后所发现的遗漏问题,我只好安排在不太恰当的地方,免得再改变命题和引证的序号。恳望读者耐心阅读本书,对我就此困难课题所付之劳作给予评判,并在纠正其缺陷时勿太过苛求。
1686年5月8日于剑桥三一学院
《自然哲学之数学原理》
[英]牛顿 著 王克迪 译
北京大学出版社2018年6月出版
① 凡本站注明“稿件来源：中国教育在线”的所有文字、图片和音视频稿件，威尼斯7798cc的版权均属本网所有，任何媒体、网站或个人未经本网协议授权不得转载、链接、转贴或以其他方式复制发表。已经本站协议授权的媒体、网站，在下载使用时必须注明“稿件来源：中国教育在线”，违者本站将依法追究责任。
② 本站注明稿件来源为其他媒体的文/图等稿件均为转载稿，本站转载出于非商业性的教育和科研之目的，并不意味着赞同其观点或证实其内容的真实性。如转载稿涉及威尼斯7798cc的版权等问题，请作者在两周内速来电或来函联系。